Natural de Paysandú, cidade próxima da fronteira uruguaia com a Argentina, Cubilla nasceu em 28 de março de 1940 e começou sua carreira no ataque do tradicional Peñarol, em 1957. Já no início de sua trajetória, o veloz centroavante encontrou lugar em uma equipe de raro talento, que ficou marcada no futebol uruguaio pelo tetracampeonato nacional consecutivo, entre 1958 e 1961, e pelo bicampeonato da Copa Libertadores, em 1960 e 1961.
O sucesso na equipe carbonera rendeu fama ao atacante, que foi negociado com o Barcelona, da Catalunha, em 1962. Sem boas aparições no Barça, Cubilla ficou apenas duas temporadas na Espanha e retornou para a América do Sul, desta vez como jogador do River Plate.
Em 1969, retornou ao seu país de origem assinando com o Nacional, grande rival do Peñarol, onde ficaria por seis anos. Atuou também pelo Defensor do Uruguai, sua última equipe como profissional do futebol.
Tornou-se treinador e passou por diversas equipes do futebol sul-americano. Suas maiores conquistas na área técnica foram à frente do Peñarol, com um título nacional, e com o Olímpia-PAR, vencendo duas vezes a Copa Libertadores e o Mundial de Clubes.
Pela Seleção Uruguaia, Cubilla foi convocado para três Copas do Mundo: 1962, 1970 e 1974. Contra o Brasil, na Copa do México, foi autor do único gol celeste na derrota por 3 a 1 para os brasileiros.
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